试题

题目：
青果学院（2010·虹口区一模）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF．已知AB=AC=2，cosC=
3
4
，若以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是
6
5
6
5
．
答案
6
5

青果学院解：作AH⊥BC，垂足为H，在Rt△ACH中，CH=AC·cosC=
3
2
，
∵AB=AC，∴BC=2CH=3，
∵以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，
∴B′F=B′C，∴FB′∥AB，
∴∠B′FE=∠FEB，
由折叠的性质可知，∠B′FE=∠BFE，∠FEB=∠FEB′，
∴四边形BFB′E为菱形，
设BF=x，则B′F=B′C=B′E=x，AB′=2-x，
∵B′E∥BC，∴△AEB′∽△ABC，
∴
B′E
BC
=
AB′
AC
，即
x
3
=
2-x
2
，解得x=
6
5
．
故答案为：
6
5
．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质；解直角三角形．
作AH⊥BC，利用解直角三角形求BC，由已知得△ABC为等腰三角形，以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，则△B'FC为等腰三角形，可知FB′∥AB，利用平行线的性质，折叠的性质可证四边形BFB′E为菱形，利用B′E∥BC，得到相似三角形，用相似比求解．
本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．关键是利用折叠与相似得出菱形．
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