试题

题目：
青果学院（2013·湖州一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为
18
5
18
5
．
答案
18
5

解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4；
根据勾股定理，得AB=5．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
青果学院
由垂径定理可得M为AE的中点，
∵S△ABC=
1
2
AC·BC=
1
2
AB·CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=
12
5
，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（
12
5
）2，
解得：AM=
9
5
，
∴AE=2AM=
18
5
．
故答案为：
18
5
．
考点梳理
垂径定理；解直角三角形．
在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．
此题主要考查学生对勾股定理及垂径定理的理解及运用．
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