试题

题目：
已知△ABC中，满足
1
tan
A
2
+
1
tan
C
2
=
4
tan
B
2
，b=4，则a+c=
6
6
．
答案
6

青果学院解：如图，作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
则tan
B
2
=
r
BD
，tan
A
2
=
r
AF
，tan
C
2
=
r
CF
．
∵
1
tan
A
2
+
1
tan
C
2
=
4
tan
B
2
，
∴
AF
r
+
CF
r
=
4BD
r
，
∴AF+CF=4BD，即AC=4BD，
又∵b=AC=4，
∴BD=1，
∴BE=BD=1，
∴a+c=（BE+CE）+（BD+AD）=（CE+AD）+（BE+BD）=b+2BD=6．
故答案为6．
考点梳理
解直角三角形．
作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OA、OB、OC平分△ABC的三个内角．根据正切函数的定义及已知条件，可得BD=1，然后根据切线长定理即可求出a+c的值．
本题考查了三角形的内切圆的性质，正切函数的定义，切线长定理，综合性较强，有一定难度．关键是作辅助线．
综合题．
找相似题