试题

题目：
在△ABC中，∠C=90°，斜边AB=10，直角边AC、BC的长分别是关于x的方程x2-mx+3m+6=0的两个实根，则sinA+sinB+sinA·sinB=
47
25
47
25
．
答案
47
25

解：如图，青果学院
∵AC、BC的长分别是关于x的方程x2-mx+3m+6=0的两个实根，
∴AC+BC=m，AC·BC=3m+6，
而AC2+BC2=AB2=100，
∴（AC+BC）2-2AC·BC=100，即m2-2（3m+6）=100，解得m1=14，m2=-8（舍去）．
∴AC+BC=14，AC·BC=3m+6=48，
∵sinA=
BC
AB
，sinB=
AC
AB
，
∴sinA+sinB+sinA·sinB=
BC+AC
AB
+
BC·AC
AB2
=
14
10
+
48
100
=
47
25
．
故答案为
47
25
．
考点梳理
解直角三角形；根与系数的关系．
根据一元二次方程根与系数的关系得到AC+BC=m，AC·BC=3m+6，再利用勾股定理得AC2+BC2=AB2=100，变形后有（AC+BC）2-2AC·BC=100，可得到m的方程m2-2（3m+6）=100，然后解方程得到得m1=14，m2=-8（舍去），则AC+BC=14，AC·BC=3m+6=48，再根据三角函数的定义得到sinA=
BC
AB
，sinB=
AC
AB
，则sinA+sinB+sinA·sinB=
BC+AC
AB
+
BC·AC
AB2
，然后整体代入计算即可．
本题考查了解直角三角形：利用三角函数的定义和勾股定理求出三角形中未知的角和边．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
计算题．
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