试题

题目：
（2009·门头沟区二模）已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC2=AC·BC，则∠ABC的度数是
15或75
15或75
度．
答案
15或75

青果学院解：如图1，过C作CD⊥AB于D．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AC·BC=AB·CD．
∴OC2=AB·CD=2OC·CD，
∴OC=2CD．
在Rt△OCD中，OC=2CD，∴∠COD=30°．
∴∠ABC=（180°-30°）÷2=75°．
同理可求得图2中，∠ABC=15°．
∴∠ABC的度数为15°或75°．
考点梳理
圆周角定理；解直角三角形．
由于AB是⊙O的直径，因此∠ACB为直角三角形．过C作AB的垂线，设垂足为D，根据三角形面积的不同表示方法，可得出AC·BC=AB·CD．由于AB=2OC，可据此求出OC=2CD．在Rt△OCD中，通过解直角三角形即可求出∠COD的度数，进而可求出∠ABC的度数．
本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形等知识的应用．
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