试题

题目：
青果学院如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F，G．
（1）若∠CBD=30°，BC=4
3
，求线段AE的长；
（2）求证：PF+PG=AB．
答案
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠C=90°，
∵∠CBD=30°，BC=4
3
，
∴DC=4
3
×tan30°=4，
∵BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠CBD=30°，
∴∠EBD=∠EDB=∠CBD=30°，
∴∠ABE=90°-30°-30°=30°，
∴AE=AB·tan30°=4×
3
3
=
4
3
3
．

（2）证明：连接PE，青果学院
S△EBD=S△EBP+S△EPD，
1
2
DE×AB=
1
2
BE×PF+
1
2
DE×PG，
∵DE=BE，
∴PF+PG=AB．
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠C=90°，
∵∠CBD=30°，BC=4
3
，
∴DC=4
3
×tan30°=4，
∵BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠CBD=30°，
∴∠EBD=∠EDB=∠CBD=30°，
∴∠ABE=90°-30°-30°=30°，
∴AE=AB·tan30°=4×
3
3
=
4
3
3
．

（2）证明：连接PE，青果学院
S△EBD=S△EBP+S△EPD，
1
2
DE×AB=
1
2
BE×PF+
1
2
DE×PG，
∵DE=BE，
∴PF+PG=AB．
考点梳理
矩形的性质；解直角三角形．
（1）求出DC，AB，求出∠EBD=30°，求出∠ABE=30°，根据AB长即可求出AE．
（2）根据三角形面积公式求出即可．
本题考查了平行线性质，含30度角的直角三角形性质，矩形性质，解直角三角形，三角形面积的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算扥李．
压轴题．
找相似题