试题

已知，如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，E、F分别是AB、AD的中点，连EF，将△FAE绕点F旋转180°得△FDM．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）若∠B=60°，求以E、M、C为顶点的三角形的面积．

解：（1）证明：连BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF∥BD，
∴AC⊥EF．

（2）依题意，△FAE绕F点旋转180°得△FDM，
∴△FDM≌△FAE，
∴∠EAF=∠MDF．
又∵菱形ABCD中，AB∥DC，∠EAF+∠FDC=180°，
∴∠MDF+∠FDC=180°，
∴M、D、C三点共线，
作AH⊥DC于H，作EN⊥DC于N，
则EN=AH．
∵AD=2，∠ADC=∠B=60°，
∴AH=AD·sin60°=

3

=EN．
又∵MD=EA=

1

2

AB=1，DC=2，
∴MC=MD+CD=3，
∴S_△MEC=

1

2

MC·EN=

1

2

×3×

3

=

3

2

3

．
解：（1）证明：连BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF∥BD，
∴AC⊥EF．

（2）依题意，△FAE绕F点旋转180°得△FDM，
∴△FDM≌△FAE，
∴∠EAF=∠MDF．
又∵菱形ABCD中，AB∥DC，∠EAF+∠FDC=180°，
∴∠MDF+∠FDC=180°，
∴M、D、C三点共线，
作AH⊥DC于H，作EN⊥DC于N，
则EN=AH．
∵AD=2，∠ADC=∠B=60°，
∴AH=AD·sin60°=

3

=EN．
又∵MD=EA=

1

2

AB=1，DC=2，
∴MC=MD+CD=3，
∴S_△MEC=

1

2

MC·EN=

1

2

×3×

3

=

3

2

3

．