试题

在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，点E为射线BC上的一动点（不与点B、C重合），过点E作EF⊥AB，FE分别交线段AB、射线DC于点F、G．
（1）如图，当点E在线段BC上时，
①求证：△BEF∽△CEG；
②如设BE=x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）点E在射线BC上运动时，是否存在S_△AFD：S_△DEC=3：2？如存在，请求出BE的长；如不存在，请说明理由．

解：（1）
①证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠B=∠BCG，∠BFE=∠EGC，
∴△BEF∽△CEG．
②在Rt△BEF中，∠B=60°，EF=BE·sinB=

3

2

x
在Rt△CEG中，CG=CE·cos60°=

3-x

2

∴y=

1

2

EF·DG=

1

2

·

3

2

x·(4+

3-x

2

)=-

3

8

x2+

11 3

8

x，
自变量的取值范围是：0＜x＜3．

（2）
①当点E在线段BC上时，
∵S_△AFD：S_△DEC=3：2，
∴

1

2

·3·(4-

1

2

x)·sin60°：

1

2

·(3-x)·4sin60°=3：2，解得：BE=

4

3

（符合要求）
②当点E在BC延长线（3＜x＜8）上时，∵S_△AFD：S_△DEC=3：2
∴

1

2

·3·(4-

1

2

x)·sin60°：

1

2

·(x-3)·4sin60°=3：2，解得：BE=4（符合要求）
解：（1）
①证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠B=∠BCG，∠BFE=∠EGC，
∴△BEF∽△CEG．
②在Rt△BEF中，∠B=60°，EF=BE·sinB=

3

2

x
在Rt△CEG中，CG=CE·cos60°=

3-x

2

∴y=

1

2

EF·DG=

1

2

·

3

2

x·(4+

3-x

2

)=-

3

8

x2+

11 3

8

x，
自变量的取值范围是：0＜x＜3．

（2）
①当点E在线段BC上时，
∵S_△AFD：S_△DEC=3：2，
∴

1

2

·3·(4-

1

2

x)·sin60°：

1

2

·(3-x)·4sin60°=3：2，解得：BE=

4

3

（符合要求）
②当点E在BC延长线（3＜x＜8）上时，∵S_△AFD：S_△DEC=3：2
∴

1

2

·3·(4-

1

2

x)·sin60°：

1

2

·(x-3)·4sin60°=3：2，解得：BE=4（符合要求）