试题

已知：如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F，且AB=BF，连接DF．
（1）若tan∠FDC=

1

2

，AD=1，求DF的长；
（2）求证：DE=BE+CF．

（1）解：∵tan∠FDC=

1

2

，
∴

FC

DC

=

1

2

，设FC=x，DC=2x，
∵AB=BF，AD=1，
∴2x=1+x，
解得：x=1，
∴FC=1，DC=2，
∴DF的长为：

FC2+DC2

=

12+22

=

5

；

（2）证明：过点F作FN⊥DE于点N，
∵∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F，FN⊥DE，FB⊥AB，
∴FN=FB（角平分线上的点到角的两边距离相等），
在Rt△FEN和Rt△FEB中

FE=FE FN=FB

，
∴Rt△FEN≌Rt△FEB（HL），
∴NE=BE，
在Rt△FDN和Rt△DFC中

FD=DF FN=FB

，
∴Rt△FDN≌Rt△DFC（HL），
∴FC=DN，
∴DE=NE+DN=BE+CF．
（1）解：∵tan∠FDC=

1

2

，
∴

FC

DC

=

1

2

，设FC=x，DC=2x，
∵AB=BF，AD=1，
∴2x=1+x，
解得：x=1，
∴FC=1，DC=2，
∴DF的长为：

FC2+DC2

=

12+22

=

5

；

（2）证明：过点F作FN⊥DE于点N，
∵∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F，FN⊥DE，FB⊥AB，
∴FN=FB（角平分线上的点到角的两边距离相等），
在Rt△FEN和Rt△FEB中

FE=FE FN=FB

，
∴Rt△FEN≌Rt△FEB（HL），
∴NE=BE，
在Rt△FDN和Rt△DFC中

FD=DF FN=FB

，
∴Rt△FDN≌Rt△DFC（HL），
∴FC=DN，
∴DE=NE+DN=BE+CF．