试题

当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．
A.2sin(α+30°)=sinα+

3

B.2sin(α+30°)=2sinα+

3

C.2sin(α+30°)=

3

sinα+cosα
（1）正确的选项是；
（2）如图1，△ABC中，AC=1，∠B=30°，∠A=α，请利用此图证明（1）中的结论；
（3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD=8

2

，求S_△ADC．

解：（1）C．
2sin（α+30°）=2（sinα·cos30°+cosα·sin30°）=

3

sinα+cosα．
故答案选C．

（2）如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D．
∵∠B=30°，∠BAC=α，AC=1，
∴∠ACD=α+30°．
∴在△ADC中，∠ADC=90°，AD=AC·sin∠ACD=sin（α+30°）．
∵在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AD=2sin（α+30°）
过点C作CE⊥AB于E．
∴在△CEA中，∠AEC=90°，CE=sinα，AE=cosα．
在△BEC中，∠BEC=90°，EB=

3

CE=

3

sinα．
∴AB=AE+BE=cosα+

3

sinα．
∴AB=2sin(α+30°)=

3

sinα+cosα．

（3）由上面证明的等式易得sin(α+30°)=

3 sinα+cosα

2

．
如图，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G．
∵△ABD和△BCD是两个含45°和30°的直角三角形，BD=8

2

，
∴∠ADG=75°，AD=8，CD=4

2

．
∵sin75°=sin（45°+30°）=

3 sin45°+cos45°

2

=

6 + 2

4

．
∴在△ADG中，∠AGD=90°，AG=AD·sin∠ADG=8×sin75°=2

6

+2

2

．
∴S_△ADC=

1

2

CD·AG=

1

2

×4

2

×(2

6

+2

2

)=8

3

+8．