试题

如图，直线AB经过圆心O，△BCT内接于⊙O，B是

TC

的中点，连接AT，且TB平分锐角∠CTA，cos∠CTA=

1

2

．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）若CT交OA于K，BC=2，请你猜测AT的长度，并证明你的结论．

证明：（1）∵TB平分锐角∠CTA，且cos∠CTA=

1

2

，
∴∠CTB=∠BTA=30°，
又∵B是

TC

的中点，
∴∠C=∠CTB=30°，
连接OT，
则∠TOB=

TB

=2∠C=60°，又OT=OB，
∴△BOT是等边三角形，
∴∠OTB=60°，
∴∠OTA=∠OTB+∠BTA=90°，
即：OT⊥AT，
∴AT是⊙O的切线；

（2）猜想：AT=2

3

，
理由：∵OT⊥AT，∠TOB=60°，
∴∠A=30°=∠C，
又∵∠CTB=∠BTA且TB=TB，
∴△CBT≌△ABT，
∴AT=CT，
在Rt△BCK中，CK=cos30°×CB=

3

，
∴CT=2

3

，
∴AT的长度为2

3

．
证明：（1）∵TB平分锐角∠CTA，且cos∠CTA=

1

2

，
∴∠CTB=∠BTA=30°，
又∵B是

TC

的中点，
∴∠C=∠CTB=30°，
连接OT，
则∠TOB=

TB

=2∠C=60°，又OT=OB，
∴△BOT是等边三角形，
∴∠OTB=60°，
∴∠OTA=∠OTB+∠BTA=90°，
即：OT⊥AT，
∴AT是⊙O的切线；

（2）猜想：AT=2

3

，
理由：∵OT⊥AT，∠TOB=60°，
∴∠A=30°=∠C，
又∵∠CTB=∠BTA且TB=TB，
∴△CBT≌△ABT，
∴AT=CT，
在Rt△BCK中，CK=cos30°×CB=

3

，
∴CT=2

3

，
∴AT的长度为2

3

．