试题

如图AB为⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：CD为⊙O切线；
（2）若sin∠BAD=

4

5

，⊙O直径为5，求DF的长．

（1）证明：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠BOC=∠DAB，∠ADO=∠DOC，
又OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠BOC=∠DAB=∠ADO=∠DOC，
在△ODC和△OBC中

OD=OB ∠DOC=∠BOC OC=OC

，
∴△ODC≌△OBC，（SAS）
又∵BC⊥AB，
∴∠B=90°．
∴∠ODC=∠B=90°，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：在△ADG中，sinA=

4

5

=

DG

AD

，
设DG=4x，AD=5x，
∵DF⊥AB，∴G为DF的中点，
∴AG=3x，
又⊙O的半径为

5

2

，
∴OG=

5

2

-3x，
∵OD²=DG²+OG²，
∴（

5

2

）²=（4x）²+（

5

2

-3x）²，
∴x=

3

5

，
∴DG=4x=

12

5

，
∴DF=2DG=2×

12

5

=

24

5

．
（1）证明：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠BOC=∠DAB，∠ADO=∠DOC，
又OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠BOC=∠DAB=∠ADO=∠DOC，
在△ODC和△OBC中

OD=OB ∠DOC=∠BOC OC=OC

，
∴△ODC≌△OBC，（SAS）
又∵BC⊥AB，
∴∠B=90°．
∴∠ODC=∠B=90°，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：在△ADG中，sinA=

4

5

=

DG

AD

，
设DG=4x，AD=5x，
∵DF⊥AB，∴G为DF的中点，
∴AG=3x，
又⊙O的半径为

5

2

，
∴OG=

5

2

-3x，
∵OD²=DG²+OG²，
∴（

5

2

）²=（4x）²+（

5

2

-3x）²，
∴x=

3

5

，
∴DG=4x=

12

5

，
∴DF=2DG=2×

12

5

=

24

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．