试题

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AC的延长线相交于点F，且AC=8，tan∠BDC=

3

4

．
（1）求⊙O的半径长；
（2）求线段CF长．

解：（1）作OH⊥AC于H，则AH=

1

2

AC=4，
在Rt△AOH中，AH=4，tanA=tan∠BDC=

3

4

，
∴OH=3，
∴半径OA=

AH2+OH2

=5；

（2）∵AB⊥CD，
∴E为CD的中点，即CE=DE，
在Rt△AEC中，AC=8，tanA=

3

4

，
设CE=3k，则AE=4k，
根据勾股定理得：AC²=CE²+AE²，即9k²+16k²=64，
解得：k=

8

5

，
则CE=DE=

24

5

，AE=

32

5

，
∵BF为圆O的切线，
∴FB⊥AB，
又∵AE⊥CD，
∴CE∥FB，
∴

AC

AF

=

AE

AB

，即

8

AF

=

32 5

10

，
解得：AF=

25

2

，
则CF=AF-AC=

9

2

．
解：（1）作OH⊥AC于H，则AH=

1

2

AC=4，
在Rt△AOH中，AH=4，tanA=tan∠BDC=

3

4

，
∴OH=3，
∴半径OA=

AH2+OH2

=5；

（2）∵AB⊥CD，
∴E为CD的中点，即CE=DE，
在Rt△AEC中，AC=8，tanA=

3

4

，
设CE=3k，则AE=4k，
根据勾股定理得：AC²=CE²+AE²，即9k²+16k²=64，
解得：k=

8

5

，
则CE=DE=

24

5

，AE=

32

5

，
∵BF为圆O的切线，
∴FB⊥AB，
又∵AE⊥CD，
∴CE∥FB，
∴

AC

AF

=

AE

AB

，即

8

AF

=

32 5

10

，
解得：AF=

25

2

，
则CF=AF-AC=

9

2

．