试题

如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连CE交AB于F．
（1）求证：DE=DF；
（2）连AE，若tanC=

1

4

，求tanA的值．

（1）证明：连接OE，
∵半径OC⊥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠OCF+∠CFO=90°
∵DE是⊙O的切线，E为切点，
∴∠OED=90°，
∴∠OEC+∠FED=90°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OFC=∠FED，
∵∠OFC=∠DFE，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；

（2）解：连BC，过F作BC的垂线，垂足为H，
∵OC=OB，半径OC⊥AB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵若tanC=

1

4

，
∴可设OF=1，则OC=4，BF=3，
∴FH=BH=

3 2

2

，BC=4

2

，
∴HC=BC-BH=4

2

-

3 2

2

=

5 2

2

，
∴在RT△CFH中，tanA=tan∠HCF=

3

5

．
（1）证明：连接OE，
∵半径OC⊥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠OCF+∠CFO=90°
∵DE是⊙O的切线，E为切点，
∴∠OED=90°，
∴∠OEC+∠FED=90°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OFC=∠FED，
∵∠OFC=∠DFE，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；

（2）解：连BC，过F作BC的垂线，垂足为H，
∵OC=OB，半径OC⊥AB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵若tanC=

1

4

，
∴可设OF=1，则OC=4，BF=3，
∴FH=BH=

3 2

2

，BC=4

2

，
∴HC=BC-BH=4

2

-

3 2

2

=

5 2

2

，
∴在RT△CFH中，tanA=tan∠HCF=

3

5

．