如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，cotA=2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC-青果题库-青果学院

题目：

如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，cotA=2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y．
（1）求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当AP=6

5

时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．

答案

解：（1）作BD⊥AC，垂足为点D
∵⊙P与边AC相切，
∴BD就是⊙P的半径．
∵cotA=2，
∴sinA=

5

．（1分）
又∵sinA=

BD

AB

，AB=15，
∴BD=3

5

．（2分）

（2）作PH⊥MN，垂足为点H．
由垂径定理，得MN=2MH．（1分）
而PH=

5

x，PM=BD=3

5

，（1分）
∴y=2

45-

1

5

x2

，即y=

2

5

1125-5x2

．（2分）
定义域为3

5

≤x＜15．（1分）

（3）当AP=6

5

时，∠CPN=∠A．（1分）
证明如下：
当AP=6

5

时，PH=6，MH=3，AH=12，
∴AM=9．（1分）
∵AC=20，MN=6，
∴CN=5．（1分）
∵

AM

MP

=

9

3

5

=

3

5

，

PN

CN

=

3

5

，
∴

AM

MP

=

PN

CN

．（1分）
又∵PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM．
∴∠AMP=∠PNC．（1分）
∴△AMP∽△PNC．（1分）
∴∠CPN=∠A．
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