试题

题目：
如图：矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠CAD=15°，则矩形ABCD的面积S=
16
16
cm2．青果学院
答案
16

青果学院解：如图：取∠DCE=60°，CE交AD于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，
∵∠CAD=15°，
∴∠ACD=75°，
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=75°-60°=15°，
∴∠ACE=∠CAD，
∴AE=CE，∠DEC=∠EAC+∠ECA=30°，
在Rt△DCE中，EC=2DC，
DE=
DC
tan∠DEC
=
DC
tan30°
=
3
DC，
设DC=xcm，则DE=
3
xcm，AE=EC=2xcm，
∴AD=AE+DE=（2+
3
）xcm，
在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，
∵AC=8cm，
∴[（2+
3
）x]2+x2=64，
解得：x2=32-16
3
，
∴矩形ABCD的面积S=AD·CD=（2+
3
）x2=（2+
3
）（32-16
3
）=16（cm2）．
故答案为：16．
考点梳理
矩形的性质；解直角三角形．
首先取∠DCE=60°，CE交AD于E，由四边形ABCD是矩形，∠CAD=15°，易求得△AEC是等腰三角形，∠DEC=30°，即可设CD=xcm，根据直角三角形的性质求得DE与EC的长，即可求得AD的长，又由AC=8cm，在Rt△ACD中，利用勾股定理可得方程[（2+
3
）x]2+x2=64，解此方程求得x2的值，然后由矩形ABCD的面积S=AD·CD，将x2的值代入即可求得答案．
此题考查了矩形的性质与直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
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