试题

在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．如图所示，过C作CD⊥AB，垂足为点D，则cosA=

AD

b

，即AD=bcosA，所以BD=c-AD=c-bcosA．
在Rt△ADC和Rt△BDC中有CD²=AC²-AD²=BC²-BD²，b²-b²cos²A=a²-（c-bcosA）²，
整理得a²=b²+c²-2bccosA．           ①
同理可得b²=a²+c²-2accosB．         ②
C²=a²+b²-2abcosC．                 ③
这个结论就是著名的余弦定理．在以上三个等式中有六个元素a，b，c，∠A，∠B，∠C，若已知其中的任意三个元素，可求出其余的另外三个元素．
（1）在锐角△ABC中，已知∠A=60°，b=5，c=7，试利用①，②，③求出a，∠B，∠C，的数值；
（2）已知在锐角△ABC中，三边a，b，c分别是7，8，9，求出∠A，∠B，∠C的度数．（保留整数）

解：（1）∵a²=b²+c²-2bccosA=25+49-2·5·7·cos60°=39，
∴a=

39

．
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

39+49-25

2×7× 39

．
∠B≈36°．
∴∠C=180°-60°-36°=84°．

（2）由余弦定理得7²=8²+9²-2×8×9cosA得cosA=

96

144

，
∴∠A≈48°．
∵8²=9²+7²-2×9×7cosB得cosB=

66

126

，
∴∠B≈58°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=74°．
解：（1）∵a²=b²+c²-2bccosA=25+49-2·5·7·cos60°=39，
∴a=

39

．
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

39+49-25

2×7× 39

．
∠B≈36°．
∴∠C=180°-60°-36°=84°．

（2）由余弦定理得7²=8²+9²-2×8×9cosA得cosA=

96

144

，
∴∠A≈48°．
∵8²=9²+7²-2×9×7cosB得cosB=

66

126

，
∴∠B≈58°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=74°．