试题

已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，
∠ABE=∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=

2

MD；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为；
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=2

7

，求tan∠PCB和tan∠ACP的值．

解：（1）证明：如图1，连接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB·cos∠ABC，
即AB=

2

BD．…（1分）
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．…（2分）
∴

AE

DM

=

AB

DB

=

2

，
∴AE=

2

MD．…（3分）

（2）∵cos∠ABC=cos60°=

1

2

，
∴MD=AE·cos∠ABC=AE·

1

2

，…（4分）
∴AE=2MD；…（5分）

（3）如图2，连接AD，EP．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．…（6分）
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=

1

2

AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．…（7分）
∴

BE

BM

=

AB

DB

=2，∠AEB=∠DMB．
∴EB=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，…（8分）
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°
∴∠AEB=90°
在Rt△AEB中，AE=2

7

，AB=7，
∴BE=

AB2-AE2

=

21

．
∴tan∠EAB=

3

2

．…（9分）
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM∥PC．
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB．
∴tan∠PCB=

3

2

．…（10分）
在Rt△ABD中，AD=AB·sin∠ABD=

7 3

2

，
在Rt△NDC中，ND=DC·tan∠NCD=

7 3

4

，
∴NA=AD-ND=

7 3

4

．…（11分）
过N作NH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ANH中，NH=

1

2

AN=

7 3

8

，AH=AN·cos∠NAH=

21

8

，
∴CH=AC-AH=

35

8

，
∴tan∠ACP=

3

5

．…（12分）