试题

题目：
青果学院如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D为AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E．
（1）△ABE与△DBC相似吗？请说明理由；
（2）若BC=5，CD=
5
，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的条件下求弦AB的长．
答案
解：（1）∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
∵∠BDC=90°，BC=5，CD=
5
，
∴BD=
BC2-CD2
=2
5
，
∴sin∠AEB=sin∠DCB=
BD
BC
=
2
5
5
；

（3）∵D为AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠CDE=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴
DC
DB
=
DE
DC
，
∴DE=
DC2
DB
=
5
2
，
∴BE=BD-DE=
3
5
2
，
∴AB=BE·sin∠AEB=
3
5
2
·
2
5
5
=3．
解：（1）∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
∵∠BDC=90°，BC=5，CD=
5
，
∴BD=
BC2-CD2
=2
5
，
∴sin∠AEB=sin∠DCB=
BD
BC
=
2
5
5
；

（3）∵D为AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠CDE=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴
DC
DB
=
DE
DC
，
∴DE=
DC2
DB
=
5
2
，
∴BE=BD-DE=
3
5
2
，
∴AB=BE·sin∠AEB=
3
5
2
·
2
5
5
=3．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．
（1）由BC为半圆的直径，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由∠ABD=∠CBD，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得）△ABE与△DBC相似；
（2）由△ABE∽△DBC，可得∠AEB=∠DCB，则由sin∠AEB=sin∠DCB即可求得sin∠AEB的值；
（3）先判断△DCE∽△DBC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得弦AB的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角的性质，以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．
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