试题

如图，在坐标系中放置矩形ABOC，点B、C分别在x轴和y轴上，且BO=8，OC=6．其中D为线段BO上的一个动点，连接AD，过A作AD的垂线交y轴于F点，并以AF、AD为边作矩形ADEF．
（1）求证：△ABD∽△AFC；
（2）连接EO．记EO与x轴的夹角为α（如图），判断当点D在BO上运动时，∠α的大小是否总保持不变？若∠α的大小不变，请求出tan∠α的值；若∠α的大小发生改变，请举例说明．

（1）证明：∵∠BAC=∠FAD=90°，
又∵∠FAC=90°-∠CAD；∠DAB=90°-∠CAD，
∴∠FAC=∠DAB，
∵∠ABD=∠ACF=90°
∴Rt△ADB∽RtAFC；
（2）解：∠α的大小总保持不变．理由如下：
过E点作EG⊥x轴于G点，
∵∠BAD+ADB=90°，∠EDO+∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠EDO，
又∵∠FAC=∠DAB，
∴∠FAC=∠EDO，
而∠ACF=∠EGD=90°，AF=ED，
∴RtAFC≌RtDEG，
∴DG=AC=BO，FC=EG，
∴GO=BD，
又由（1）得Rt△ADB∽RtAFC，
∴

FC

BD

=

AC

AB

，
在Rt△EOG中，tan∠α=

EG

GO

，
∴tan∠α=

EG

GO

=

FC

BD

=

AC

AB

，
而BO=8，OC=6，
∴AB=6，AC=8，
∴tan∠α=

6

8

=

3

4

，
∴∠α的大小总保持不变．
（1）证明：∵∠BAC=∠FAD=90°，
又∵∠FAC=90°-∠CAD；∠DAB=90°-∠CAD，
∴∠FAC=∠DAB，
∵∠ABD=∠ACF=90°
∴Rt△ADB∽RtAFC；
（2）解：∠α的大小总保持不变．理由如下：
过E点作EG⊥x轴于G点，
∵∠BAD+ADB=90°，∠EDO+∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠EDO，
又∵∠FAC=∠DAB，
∴∠FAC=∠EDO，
而∠ACF=∠EGD=90°，AF=ED，
∴RtAFC≌RtDEG，
∴DG=AC=BO，FC=EG，
∴GO=BD，
又由（1）得Rt△ADB∽RtAFC，
∴

FC

BD

=

AC

AB

，
在Rt△EOG中，tan∠α=

EG

GO

，
∴tan∠α=

EG

GO

=

FC

BD

=

AC

AB

，
而BO=8，OC=6，
∴AB=6，AC=8，
∴tan∠α=

6

8

=

3

4

，
∴∠α的大小总保持不变．