试题

题目：
如图，A、B是直线L上的两点，AB=4厘米，过L外一点C作CD∥L，射线BC与L所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向运动．设P，Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，PA交CD于E．
（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长．
（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式．
（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？
青果学院
答案
解：（1）由题意知：BP=t，CQ=2t，PC=t-2．
∵EC∥AB，∴
EC
AB
=
PC
PB

∴EC=
PC·AB
PB
=
4(t-2)
t

∴QE=QC-EC=2t-
4(t-2)
t
=
2(t2-2t+4)
t


（2）作PF⊥L于F，交DC延长线于M，AN⊥CD于N．则在△PBF中，PF=PB·sin60°=
3
2
t青果学院
∴S△APQ=S△AQE+S△PQE
=
1
2
QE·AN+
1
2
QE·PM=
1
2
QE·PF
=
1
2
2(t2-2t+4)
t
·
3
2
t=
3
2
(t2-2t+4)

（3）此时E为PA的中点，所以C也是PB的中点
则t-2=2，
∴t=4
QE=
2(t2-2t+4)
t

=
2(42-2×4+4)
4

=6（厘米）
解：（1）由题意知：BP=t，CQ=2t，PC=t-2．
∵EC∥AB，∴
EC
AB
=
PC
PB

∴EC=
PC·AB
PB
=
4(t-2)
t

∴QE=QC-EC=2t-
4(t-2)
t
=
2(t2-2t+4)
t


（2）作PF⊥L于F，交DC延长线于M，AN⊥CD于N．则在△PBF中，PF=PB·sin60°=
3
2
t青果学院
∴S△APQ=S△AQE+S△PQE
=
1
2
QE·AN+
1
2
QE·PM=
1
2
QE·PF
=
1
2
2(t2-2t+4)
t
·
3
2
t=
3
2
(t2-2t+4)

（3）此时E为PA的中点，所以C也是PB的中点
则t-2=2，
∴t=4
QE=
2(t2-2t+4)
t

=
2(42-2×4+4)
4

=6（厘米）
考点梳理
平行线分线段成比例；三角形中位线定理；解直角三角形．
（1）根据题意的出BP=t，CQ=2t，PC=t-2．再根据EC∥AB，得出
EC
AB
=
PC
PB
最后得出EC的值，即可表示出CE和QE的长．
（2）本题关键是得出S与t的函数关系式，那么求面积就要知道底边和高的长，我们可以QE为底边，过P引l的垂线作高，根据P的速度可以用t表示出BP，也就能用BP和∠1的正弦函数求出高，那么关键是求QE的长，我们可以根据Q的速度用时间t表示出CQ，那么只要求出CE即可．因为EC∥BA，那么我们可以用相似三角形的对应线段成比例来求CE的长，根据三角形PEC和PAB相似，可得出关于CE、AB、PC、BC的比例关系式，有BP、BC、AB的值，那么我们就可以用含t的式子表示出CE，也就表示出了QE，那么可根据三角形的面积公式得出关于S与t的函数关系式了．
（3）如果QE恰好平分三角形APQ的面积，那么此时P到CD和CD到l之间的距离就相等，那么C就是PB的中点，可根据BP=2BC求出t的值，然后根据（1）中得出的表示QE的式子，将t代入即可得出QE的值．
本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的应用等知识点，根据相似三角形得出表示CE的式子是解题的关键所在．
压轴题．
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