试题

如图，把一块含60°的三角尺ACB与边长为2的正方形ACFG按如图所示重叠在一起，∠B=30°．若把三角尺绕直角顶点C按顺时针方向旋转，使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F，得△PCN，PC，PN交AB于D、E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）△ACB至少旋转多少度才能得到△PCN？请通过计算说明理由；
（3）试求出△ACB与△PCN的重叠部分（即四边形CDEF）的面积（精确到0.01）．

解：（1）∠BAC=90°-30°=60°．

（2）∵AC=CP=CF，又∠CPN=∠CAB=60°，
∴△PCF是等边三角形．
∴∠PCF=60°．
∴∠ACP=90°-∠PCF=30°，即△ABC旋转30°时，得到△PCN．

（3）在△ACD中，∠ACD=30°，∠BAC=60°，
∴∠ADC=90°，AD=

1

2

AC=1，CD=AC·Sin60°=

3

，
∴PD=2-

3

，
DE=PD·tan60°=2

3

-3．
∴△PDE的面积为：

1

2

PD·DE=

7

2

3

-6．
又∵S_△PCF=

1

2

CF·CP·sin60°=

3

，
∴四边形DCFE的面积为：

3

-（

7

2

3

-6）≈1.67．
解：（1）∠BAC=90°-30°=60°．

（2）∵AC=CP=CF，又∠CPN=∠CAB=60°，
∴△PCF是等边三角形．
∴∠PCF=60°．
∴∠ACP=90°-∠PCF=30°，即△ABC旋转30°时，得到△PCN．

（3）在△ACD中，∠ACD=30°，∠BAC=60°，
∴∠ADC=90°，AD=

1

2

AC=1，CD=AC·Sin60°=

3

，
∴PD=2-

3

，
DE=PD·tan60°=2

3

-3．
∴△PDE的面积为：

1

2

PD·DE=

7

2

3

-6．
又∵S_△PCF=

1

2

CF·CP·sin60°=

3

，
∴四边形DCFE的面积为：

3

-（

7

2

3

-6）≈1.67．