试题

题目：
青果学院如图，在矩形ABCD中，AD=2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F，若
CF
长为
2π
3
，．
（1）求圆心角∠CBF的度数；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）．
答案
解：（1）设∠CBF的度数为n°，
由l=
nπR
180
，得n=
180l
πR
．
所以n=
180×
2
3
π
2π
=60，即∠CBF=60°．

（2）由∠ABC=90°，∠FBC=60°，
得∠ABF=30°．
在Rt△ABF中，AB=BF·cos∠ABF=
3
=CD，
AF=
BF2-AB2
=1，
所以FD=AD-AF=1．
S梯形DFBC=
1
2
(DF+BC)·CD=
3
2
3
，
所以S阴影=S梯形DFBC-S扇形BCF=
3
2
3
-
2
3
π．
解：（1）设∠CBF的度数为n°，
由l=
nπR
180
，得n=
180l
πR
．
所以n=
180×
2
3
π
2π
=60，即∠CBF=60°．

（2）由∠ABC=90°，∠FBC=60°，
得∠ABF=30°．
在Rt△ABF中，AB=BF·cos∠ABF=
3
=CD，
AF=
BF2-AB2
=1，
所以FD=AD-AF=1．
S梯形DFBC=
1
2
(DF+BC)·CD=
3
2
3
，
所以S阴影=S梯形DFBC-S扇形BCF=
3
2
3
-
2
3
π．
考点梳理
扇形面积的计算；矩形的性质；弧长的计算；解直角三角形．
（1）根据弧长公式l=
nπR
180
，即可求得∠CBF的度数；
（2）根据（1）的结论，求得∠ABF=30°．再根据直角三角形的性质可以求得AB、AF的长，从而求得DF的长．则阴影部分的面积等于梯形BCDF的面积减去扇形BCF的面积．
熟练运用弧长公式和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质．30°所对的直角边是斜边的一半．
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