试题

题目：
青果学院已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，且DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=20cm，求⊙O的半径．
答案
青果学院解：如右图所示，连接AD、OD．
（1）∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OB=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠AED=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）在Rt△ADC中，
∵CD=20cm，∠C=30°，
∴AC=
CD
cos30°
=
40
3
3
，
∴AB=
40
3
3
，
∴⊙O的半径=
1
2
AB=
20
3
3
．
青果学院解：如右图所示，连接AD、OD．
（1）∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OB=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠AED=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）在Rt△ADC中，
∵CD=20cm，∠C=30°，
∴AC=
CD
cos30°
=
40
3
3
，
∴AB=
40
3
3
，
∴⊙O的半径=
1
2
AB=
20
3
3
．
考点梳理
切线的判定与性质；解直角三角形．
（1）连接AD、OD，由AB是直径，可知∠BDA=90°，而AB=AC，易得BD=CD，又OB=OA，可知OD是△ABC的中位线，那么
OD∥AC，结合DE⊥AC，利用平行线性质易得∠ODE=∠AED=90°，从而有DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ADC中，利用特殊三角函数值，可求AC，从而可求AB，进而可求⊙O半径．
本题考查了等腰三角形三线合一定理、中位线定理、切线的判定和性质、特殊三角函数值．解题的关键是连接AD、OD，构造直角三角形、平行线，并证明OD是△ABC的中位线．
计算题．
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