试题

如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，CD=

3

，∠ACB=30°．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）分别求AB，OE的长．

（1）证明：连接BD，OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
∴OD∥BC
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．（4分）

（2）解：在Rt△CBD中CD=

3

，∠ACB=30°，
∴BC=

CD

cos30°

=

3

3 2

=2，
∴AB=2．
在Rt△CDE中，CD=

3

，∠ACB=30°，
∴DE=

1

2

CD=

1

2

×

3

=

3

2

．
在Rt△ODE中，OE=

OD2+DE2

=

7

2

．
（1）证明：连接BD，OD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
∴OD∥BC
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．（4分）

（2）解：在Rt△CBD中CD=

3

，∠ACB=30°，
∴BC=

CD

cos30°

=

3

3 2

=2，
∴AB=2．
在Rt△CDE中，CD=

3

，∠ACB=30°，
∴DE=

1

2

CD=

1

2

×

3

=

3

2

．
在Rt△ODE中，OE=

OD2+DE2

=

7

2

．