试题

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，M是

BC

的中点，OM交⊙O的切线BP于点P．
（1）判断直线PC和⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若sin∠BAC=0.8，⊙O的半径为2，求线段PC的长．

解：（1）相切；
证明：连接OC；
∵点M是弧BC的中点，
∴∠BOM=∠MOC；
又∵OB=OC，OP=OP，
∴△POC≌△POB，
∴∠PBO=∠PCO；
已知PB是⊙O的切线，即∠PBO=90°；
故∠PCO=∠PBO=90°，即PC⊥OC；
而OC是⊙O的半径，所以PC是⊙O的切线．

（2）由圆周角定理知：∠BAC=

1

2

∠BOC=∠BOM，
∴sin∠BOM=sin∠BAC=0.8；
易知：tan∠BOM=

4

3

，
则PB=OB·tan∠BOM=

8

3

；
∵PC、PB都是⊙O的切线，且切点为C、B，
由切线长定理知：PC=PB=

8

3

．
解：（1）相切；
证明：连接OC；
∵点M是弧BC的中点，
∴∠BOM=∠MOC；
又∵OB=OC，OP=OP，
∴△POC≌△POB，
∴∠PBO=∠PCO；
已知PB是⊙O的切线，即∠PBO=90°；
故∠PCO=∠PBO=90°，即PC⊥OC；
而OC是⊙O的半径，所以PC是⊙O的切线．

（2）由圆周角定理知：∠BAC=

1

2

∠BOC=∠BOM，
∴sin∠BOM=sin∠BAC=0.8；
易知：tan∠BOM=

4

3

，
则PB=OB·tan∠BOM=

8

3

；
∵PC、PB都是⊙O的切线，且切点为C、B，
由切线长定理知：PC=PB=

8

3

．