试题

如图．AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠COD=∠DOB=60°，延长AB至E，使BE=

1

2

AB，连接CE、DE，CE与OD交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求sin∠AEC和OF的长．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB=OD=

1

2

AB．
在△ODE中，BE=

1

2

AB，
∴OE=OB+BE=AB=2OD，
∴∠DEO=30°．
又∵∠DOB=60°，
∴∠ODE=180°-∠DOE-∠DEO=90°，即OD⊥DE，
又点D在圆O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）连接AC．
∵∠COD=∠DOB=60°，
∴∠ACO=60°．
又∵OA=OC，
∴等腰△ACO的等边三角形，
∴∠A=∠COD=60°，
∴AC∥OF，
∴

OF

AC

=

OE

AE

．
又BE=

1

2

AB，AC=OA（等边三角形的三条边相等），⊙O的半径为2，
∴OF=

2

3

OA=

4

3

；
过点C作CG⊥AE于点G．则CG=

3

，OG=1，GE=5，
在直角△CGE中，由勾股定理求得CE=2

7

，
则sin∠AEC=

CG

CE

=

3

2 7

=

21

14

．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB=OD=

1

2

AB．
在△ODE中，BE=

1

2

AB，
∴OE=OB+BE=AB=2OD，
∴∠DEO=30°．
又∵∠DOB=60°，
∴∠ODE=180°-∠DOE-∠DEO=90°，即OD⊥DE，
又点D在圆O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）连接AC．
∵∠COD=∠DOB=60°，
∴∠ACO=60°．
又∵OA=OC，
∴等腰△ACO的等边三角形，
∴∠A=∠COD=60°，
∴AC∥OF，
∴

OF

AC

=

OE

AE

．
又BE=

1

2

AB，AC=OA（等边三角形的三条边相等），⊙O的半径为2，
∴OF=

2

3

OA=

4

3

；
过点C作CG⊥AE于点G．则CG=

3

，OG=1，GE=5，
在直角△CGE中，由勾股定理求得CE=2

7

，
则sin∠AEC=

CG

CE

=

3

2 7

=

21

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