试题

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三角形的角平分线CE和高AD相交于点F，过F作FG∥BC交AB于点G，求证：（1）AE=BG．（2）若∠B=30°，FD=5，求四边形EBDF的面积．

（1）证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠1+∠BAD=∠B+∠BAD=90°，
∴∠1=∠B，
∵CE是角平分线，
∴∠2=∠3，
∵∠5=∠1+∠2，∠4=∠3+∠B，
∴∠4=∠5，
∴AE=AF，
过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N，
∴MN∥AB，
∵FG∥BD，
∴四边形GBNF为平行四边形，
∴GB=FN，
∵AD⊥BC，CE为角平分线，
∴FD=FM，
在Rt△AMF和Rt△NDF中

∠AMF=∠NDF=90° FM=FD ∠6=∠7

，
∴△AMF≌△NDF，
∴AF=FN，
∴AE=BG；

（2）解：∵∠B=30°，AB∥NF，
∴∠8=30°，
在Rt△FDN中，FN=2FD=10，
∴AF=AE=BG=FN=10，
∴∠BAD=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴EF=AE=10，
∵GF∥BC，
∴∠EGB=∠B=30°，
∠4=∠9+∠10=60°，
∴∠9=∠10=30°，
EG=EF=10，
在Rt△ABC中，tan30°=

AC

AB

=

AC

30

=

3

3

，
∴AC=10

3

，∠2=30°，
在Rt△CDF中，tan∠3=

FD

CD

=

5

CD

=

3

3

，
∴CD=5

3

，
∴S_四EBDF=S_△ABC-S_△AEC-S_△CDF=

1

2

×30×10

3

-

1

2

×10×10

3

-

1

2

×5×5

3

=

175 3

2

．
（1）证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠1+∠BAD=∠B+∠BAD=90°，
∴∠1=∠B，
∵CE是角平分线，
∴∠2=∠3，
∵∠5=∠1+∠2，∠4=∠3+∠B，
∴∠4=∠5，
∴AE=AF，
过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N，
∴MN∥AB，
∵FG∥BD，
∴四边形GBNF为平行四边形，
∴GB=FN，
∵AD⊥BC，CE为角平分线，
∴FD=FM，
在Rt△AMF和Rt△NDF中

∠AMF=∠NDF=90° FM=FD ∠6=∠7

，
∴△AMF≌△NDF，
∴AF=FN，
∴AE=BG；

（2）解：∵∠B=30°，AB∥NF，
∴∠8=30°，
在Rt△FDN中，FN=2FD=10，
∴AF=AE=BG=FN=10，
∴∠BAD=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴EF=AE=10，
∵GF∥BC，
∴∠EGB=∠B=30°，
∠4=∠9+∠10=60°，
∴∠9=∠10=30°，
EG=EF=10，
在Rt△ABC中，tan30°=

AC

AB

=

AC

30

=

3

3

，
∴AC=10

3

，∠2=30°，
在Rt△CDF中，tan∠3=

FD

CD

=

5

CD

=

3

3

，
∴CD=5

3

，
∴S_四EBDF=S_△ABC-S_△AEC-S_△CDF=

1

2

×30×10

3

-

1

2

×10×10

3

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2

×5×5

3

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175 3

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