试题

题目：
青果学院（2011·兴国县模拟）如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，作BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M．sin∠CBD=
1
3
．则OM=
1
3
1
3
．
答案
1
3

青果学院解：连接AO并延长，交圆O于点N，连接BN．
∵AN是直径，
∴∠ABN=90°，
∴∠ABN=∠CDB，
又∵∠C=∠N，
∴∠NAB=∠CBD，
∴sin∠NAB=
BN
AN
=sin∠CBD=
1
3
，
∴NB=AN·sin∠CBD=
2
3
，
∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
又∵OA=ON，
∴OM是△ABN的中位线．
∴OM=
1
2
NB=
1
3
．
故答案为：
1
3
．
考点梳理
圆周角定理；解直角三角形．
连接AO并延长，交圆O于点N，连接BN，则OM是△ABN的中位线，根据圆周角定理即可证明∠NAB=∠CBD，即可求得NB的长，根据三角形中位线定理即可求解．
本题主要考查了三角形中位线定理，正确作出辅助线，利用等弧所对的圆周角相等把sin∠CBD=
1
3
进行转化是解题的关键．
计算题．
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