试题

题目：
（2012·金山区一模）已知△ABC中，∠C=90°，AB=9，cosA=
2
3
，把△ABC 绕着点C旋转，使得点A落在点A’，点B落在点B’．若点A’在边AB上，则点B、B’的距离为
4
5
4
5
．
答案
4
5

解：过点C作CH⊥AB于H，
青果学院
∵在RT△ABC中，∠C=90，cosA=
2
3
，
∴AC=ABcosA=6，BC=3
5
，
在RT△ACH中，AC=6，cosA=
2
3
，
∴AH=ACcosA=4，
由旋转的性质得，AC=A'C，BC=B'C，
∴△ACA'是等腰三角形，因此H也是AA'中点，
∴AA'=2AH=8，
又∵△BCB'和△ACA'都为等腰三角形，且顶角∠ACA'和∠BCB'都是旋转角，
∴∠ACA'=∠BCB'，
∴△ACA'∽△BCB'，
∴
AC
BC
=
AA′
BB′
，即
6
3
5
=
8
BB′
，
解得：BB'=4
5
．
故答案为：4
5
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质；解直角三角形．
过点C作CH⊥AB于H，利用解直角三角形的知识，分别求出AH、AC、BC的值，进而利用三线合一的性质得出AA'的值，然后利用旋转的性质可判定△ACA'∽△BCB'，继而利用相似三角形的对应边成比例的性质可得出BB'的值．
此题考查了解直角三角形、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，难度较大，解答本题的关键是得出△ACA'∽△BCB'，有一定难度．
数形结合．
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