试题

题目：
青果学院（2013·河北区二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=
3
4
，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别交于点D、E，则线段DE长度的最小值是
4.8
4.8
．
答案
4.8

青果学院解：如图，设DE的中点为F，圆F与AB的切点为P，连接FP，连接CF，CP，则FP⊥AB．
∵AB=10，tanA=
3
4
，
∴AC=8，BC=6
∵∠ACB=90°，
∴FC+FP=DE，
∴CF+FP＞CP，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CP时，PC=DE有最小值，
∴DE=CP=
AC×BC
AB
=
8×6
10
=4.8
故答案为4.8．
考点梳理
切线的性质；垂线段最短；解直角三角形．
设DE的中点为F，圆F与AB的切点为P，连接FP，连接CF，CP，则有FP⊥AB；FC+FP=DE，由三角形的三边关系知，CF+FP＞CP；只有当点F在CP上时，FC+FP=PC有最小值为CP的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CP时，DE=CP有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CP=BC·AC÷AB=4.8．
本题考查了切线的性质，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式．有一定的难度．
计算题；压轴题．
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