试题

题目：
（2013·浦东新区一模）已知在Rt△ABC中，∠A=90°，sinB=
5
5
，BC=a，点D在边BC上，将这个三角形沿直线AD折叠，点C恰好落在边AB上，那么BD=
2
3
a
2
3
a
．（用a的代数式表示）
答案
2
3
a

青果学院解：过D作DH⊥AB于点H，作DG⊥AC于点G．
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=
5
5
，BC=a，
∴AC=
5
5
a，AB=
2
5
5
a，
∵S△ABC=
1
2
AB·AC=
a2
5
，
由折叠的性质可得：AD平分∠CAB，
∴DH=DG，
设DH=x，
∴S△ABC=S△DAC+S△ABD=
1
2
AB·DH+
1
2
AC·DG=
1
2
DH（AB+AC）=
1
2
·x·（
5
5
a+
2
5
5
a）=
3
5
10
ax，
∴
3
5
10
ax=
a2
5
，
解得：x=
2
5
15
a，
∴DH=AH=
2
5
15
a，
∴BH=AB-AH=
4
5
15
a，
∴BD=
DH2+BH2
=
2
3
a．
故答案为：
2
3
a．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．
首先根据题意作出图形，然后过D作DH⊥AB于点H，作DG⊥AC于点G，由在Rt△ABC中，∠A=90°，sinB=
5
5
，BC=a，可求得AC与AB的长，由折叠的性质可得：AD平分∠CAB，然后由三角形的面积相等，可求得DH的长，继而求得答案BH的长，然后由勾股定理求得BD的长．
此题考查了折叠的性质、角平分线的性质、三角形的面积问题以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
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