试题

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，交⊙O于点F，且

BC

=

CF

（1）试判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；
（2）若BD=

5

3

，AE=4，求∠BCD的正切值．

 （1）DE是⊙O的切线（1分）
证明：连接OC（如图）
∵

BC

=

CF

，∴∠1=∠2（2分）
∵⊙O是△ABC的外接圆
∴点C在圆上
∴OC=OA
∴∠3=∠2
∴∠3=∠1
∴OC∥AE（3分）
∵AE⊥DE，∴∠AED=90°
∴∠OCD=90°
∴OC⊥DC，即OC⊥DE
∴DE是⊙O的切线（4分）

（2）解：在△ADE中，由（1）知OC∥AE
∴

OC

AE

=

DO

DA

设OC=t
∵BD=

5

3

，AE=4
∴

t

4

=

5 3 +t

5 3 +2t

整理，得6t²-7t-20=0
解得t1=

5

2

，t2=-

4

3

经检验t₁，t₂均为原方程的解，由于线段长为非负，故舍去负值．
得OC=

5

2

（5分）
∴AB=5
∵DC切⊙O于点C，DBA是⊙O的割线
∴DC2=DB·DA=

5

3

(

5

3

+5)
∴DC=

10

3

（6分）
∵∠BCD=∠2，∠D是公共角，
∴△DBC∽△DCA
∴

BC

AC

=

DB

DC

=

5 3

10 3

 =

1

2

（7分）
由已知AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，∴tan∠2=

BC

AC

=

1

2

∴tan∠BCD=tan∠2=

1

2

（8分）
 （1）DE是⊙O的切线（1分）
证明：连接OC（如图）
∵

BC

=

CF

，∴∠1=∠2（2分）
∵⊙O是△ABC的外接圆
∴点C在圆上
∴OC=OA
∴∠3=∠2
∴∠3=∠1
∴OC∥AE（3分）
∵AE⊥DE，∴∠AED=90°
∴∠OCD=90°
∴OC⊥DC，即OC⊥DE
∴DE是⊙O的切线（4分）

（2）解：在△ADE中，由（1）知OC∥AE
∴

OC

AE

=

DO

DA

设OC=t
∵BD=

5

3

，AE=4
∴

t

4

=

5 3 +t

5 3 +2t

整理，得6t²-7t-20=0
解得t1=

5

2

，t2=-

4

3

经检验t₁，t₂均为原方程的解，由于线段长为非负，故舍去负值．
得OC=

5

2

（5分）
∴AB=5
∵DC切⊙O于点C，DBA是⊙O的割线
∴DC2=DB·DA=

5

3

(

5

3

+5)
∴DC=

10

3

（6分）
∵∠BCD=∠2，∠D是公共角，
∴△DBC∽△DCA
∴

BC

AC

=

DB

DC

=

5 3

10 3

 =

1

2

（7分）
由已知AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，∴tan∠2=

BC

AC

=

1

2

∴tan∠BCD=tan∠2=

1

2

（8分）