试题

如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6．若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB；
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E为x轴上的点，且S_△AOE=

16

3

，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由．

解：（1）解方程：x²-7x+12=0
解得x₁=3，x₂=4（1分）
∵OA＞OB
∴OA=4，OB=3（2分）
由勾股定理得出：
∴AB=5（3分）
∴在Rt△OAB中，sin∠ABC=

OA

AB

=

4

5

（4分）

（2）①∵S_△AOE=

16

3

∴

1

2

OA·OE=

16

3

∴OE=

8

3

（5分）
∴点E的坐标为（-

8

3

，0）或（

8

3

，0）（6分）

②△AOE与△DAO相似，理由如下：
∵

OE

OA

=

2

3

，

OA

AD

=

2

3

∴

OE

OA

=

OA

AD

∵∠AOE=∠DAO=90°（7分）
∴△AOE∽△DAO．（8分）
解：（1）解方程：x²-7x+12=0
解得x₁=3，x₂=4（1分）
∵OA＞OB
∴OA=4，OB=3（2分）
由勾股定理得出：
∴AB=5（3分）
∴在Rt△OAB中，sin∠ABC=

OA

AB

=

4

5

（4分）

（2）①∵S_△AOE=

16

3

∴

1

2

OA·OE=

16

3

∴OE=

8

3

（5分）
∴点E的坐标为（-

8

3

，0）或（

8

3

，0）（6分）

②△AOE与△DAO相似，理由如下：
∵

OE

OA

=

2

3

，

OA

AD

=

2

3

∴

OE

OA

=

OA

AD

∵∠AOE=∠DAO=90°（7分）
∴△AOE∽△DAO．（8分）