试题

如图，把Rt△ACB与Rt△DCE按图（甲）所示重叠在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△DCE绕直角顶点C按顺时针方向旋转30°，使得AB分别与DC，DE相交于点F、G，CB与DE相交于点M，如图（乙）所示．
（1）求CM的长；
（2）求△ACB与△DCE的重叠部分（即四边形CMGF）的面积（保留根号）；
（3）将△DCE按顺时针方向继续旋转45°，得△D₁CE₁，这时，点D₁在△ACB的内部，外部，还是边上？证明你的判断．

解：（1）∵旋转角度为30°，即∠ACD=30°，
∴∠DCM=90°-30°=60°，
∴∠D=∠DCM=60°，
∴△DCM为正三角形，
∴CM=CD=2；

（2）在△ACF中，∠AFC=180°-∠BAC-∠ACD=180°-60°-30°=90°，
∵AC=2，
∴CF=AC·sin60°=2×

3

2

=

3

，
DF=CD-CF=2-

3

，
在Rt△DFG中，FG=DF·tan60°=（2-

3

）

3

，
由图可知S_{四边形CMGF}=S_△DCM-S_△DFG，
=

1

2

×2×（2×

3

2

）-

1

2

×（2-

3

）×（2-

3

）

3

，
=

3

-

1

2

（7

3

-12），
=6-

5

2

3

；

（3）点D₁在△ACB的内部．
理由如下：如图，设直线CD与直线AB相交于点N，
∵△DCE按顺时针方向继续旋转45°，
∴∠FCN=45°，
在Rt△FCN中，CN=CF÷cos∠FCN=

3

÷

2

2

=

6

，
∵

6

＞2，
∴点D₁在△ACB的内部．
解：（1）∵旋转角度为30°，即∠ACD=30°，
∴∠DCM=90°-30°=60°，
∴∠D=∠DCM=60°，
∴△DCM为正三角形，
∴CM=CD=2；

（2）在△ACF中，∠AFC=180°-∠BAC-∠ACD=180°-60°-30°=90°，
∵AC=2，
∴CF=AC·sin60°=2×

3

2

=

3

，
DF=CD-CF=2-

3

，
在Rt△DFG中，FG=DF·tan60°=（2-

3

）

3

，
由图可知S_{四边形CMGF}=S_△DCM-S_△DFG，
=

1

2

×2×（2×

3

2

）-

1

2

×（2-

3

）×（2-

3

）

3

，
=

3

-

1

2

（7

3

-12），
=6-

5

2

3

；

（3）点D₁在△ACB的内部．
理由如下：如图，设直线CD与直线AB相交于点N，
∵△DCE按顺时针方向继续旋转45°，
∴∠FCN=45°，
在Rt△FCN中，CN=CF÷cos∠FCN=

3

÷

2

2

=

6

，
∵

6

＞2，
∴点D₁在△ACB的内部．