试题

题目：
（2009·乐山）如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB青果学院相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…．则：
（1）S1=
4
3
3
4
3
3
；
（2）通过计算可得S2009=
5356
3
5356
3
．
答案
4
3
3

5356
3

解：（1）设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，
则Sn=
1
2
b×btan∠AOB-
1
2
a×atan∠AOB=
3
6
（b2-a2），
又∵梯形1距离点O的距离a=1，b=3，
∴S1=
3
6
（32-12）=
4
3
3
；

（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，
2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，
下底为第2008×2+2个奇数，
∴第2009个梯形的两边长分别为：
a=2×（2008×2+1）-1=8033，
b=2×（2008×2+1）+1=8035，
故S2009=
3
6
（80352-80332）=5356
3
．
考点梳理
解直角三角形．
（1）分析知奇数的通式为：2n-1（n为正整数），设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，则可以表达出Sn的表达式，将每个梯形的上底和下底距点O的长代入，求解即可；
（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数．
本题考查学生分析、探究问题及运用规律解决问题的能力．有一定难度．
计算题；压轴题；规律型．
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