试题

题目：
青果学院（2011·河南）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2
3
，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为
3+
3
3+
3
．
答案
3+
3

解：已知AD∥BC，∠ABC=90°，点E是BC边的中点，即AD=BE=CE=
3
，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠DEC=90°，∠A=90°，
又∠C=60°，
∴DE=CE·tan60°=
3
×
3
=3，
又∵△DEF是等边三角形，
∴DF=DE=AB=3，∠AGD=∠EDF=60°，∠ADG=30°
∴AG=AD·tan30°=
3
×
3
3
=1，青果学院
∴DG=2，FG=DF-DG=1，
BG=3-1=2，
∴AG=FG=1，∠AGD=∠FGB，BG=DG=2，
∴△AGD≌△BGF，
∴BF=AD=
3
，
∴△BFG的周长为2+1+
3
=3+
3
，
故答案为：3+
3
．
考点梳理
直角梯形；等边三角形的性质；解直角三角形．
首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．
此题考查的知识点是直角梯形、等边三角形的性质及解直角三角形，解题的关键是先由已知推出直角三角形CED，再通过△DEF是等边三角形，解直角三角形证明三角形全等求解．
几何综合题；压轴题．
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