试题

题目：
（2011·营口）已知⊙O的直径AB=2，过点A的两条弦AC=
2
，AD=
3
，则∠CBD=
15°或105°（只答对一个给1分）
15°或105°（只答对一个给1分）
．
答案
15°或105°（只答对一个给1分）

青果学院解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=2，AC=
2
，
∴sin∠ABC=
AC
AB
=
2
2
，∴∠ABC=45°；
在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2，AD=
3
，
∴sin∠ABD=
AD
AB
=
3
2
，∴∠ABD=60°．
分两种情况：
①当两条弦AC与AD在直径AB的同侧时，∠CBD=∠ABD-∠ABC=15°；
②当两条弦AC与AD在直径AB的异侧时，∠CBD=∠ABD+∠ABC=105°．
综上可知∠CBD=15°或105°．
故答案为15°或105°．
考点梳理
解直角三角形；圆周角定理．
分两条弦在直径AB的同侧和异侧两种情况讨论即可求解．
本题考查了解直角三角形及圆周角定理，难度中等，能够考虑到两条弦AC、AD与直径AB的位置关系，从而进行分类讨论是解决本题的关键．
压轴题；分类讨论．
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