试题

题目：
（2012·柳州）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为
2
5
5
（即cosC=
2
5
5
），则AC边上的中线长是
85
10
a或
5
10
a
85
10
a或
5
10
a
．
答案
85
10
a或
5
10
a

青果学院解：分两种情况：
①如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=
2
5
5
，
∴CD=
2
5
5
a，AD=
5
5
a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=
5
5
a，
∴BC=BD+CD=
3
5
5
a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC·EC·cosC
=
9
5
a2+
1
4
a2-2×
3
5
5
a×
1
2
a×
2
5
5

=
17
20
a2，
∴BE=
85
10
a；
青果学院②如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=
2
5
5
，
∴CD=
2
5
5
a，AD=
5
5
a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=
5
5
a，
∴BC=CD-BD=
5
5
a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC·EC·cosC
=
1
5
a2+
1
4
a2-2×
5
5
a×
1
2
a×
2
5
5

=
1
20
a2，
∴BE=
5
10
a．
综上可知AC边上的中线长是
85
10
a或
5
10
a．
故答案为
85
10
a或
5
10
a．
考点梳理
解直角三角形．
分两种情况：①△ABC的内角∠ABD=45°；②△ABC的外角∠ABD=45°．这两种情况，都可以首先作△ABC的高AD，解直角△ACD与直角△ABD，得到BC的长，再利用余弦定理求解．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，余弦定理，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．
压轴题．
找相似题