试题

题目：
青果学院如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=4
2
，求⊙O的直径．
答案
青果学院解：连接AO，并延长交⊙O于点E，连接CE，
∵AD⊥BC，AC=5，DC=3，
∴AD=
AC2-DC2
=4，
∵AB=4
2
，
∴在Rt△ABD中，sin∠B=
AD
AB
=
2
2
，
∴∠B=45°，
∵AE是直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E=∠B=45°，
∴AE=
AC
sin45°
=5
2
．
∴⊙O的直径为5
2
．
青果学院解：连接AO，并延长交⊙O于点E，连接CE，
∵AD⊥BC，AC=5，DC=3，
∴AD=
AC2-DC2
=4，
∵AB=4
2
，
∴在Rt△ABD中，sin∠B=
AD
AB
=
2
2
，
∴∠B=45°，
∵AE是直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E=∠B=45°，
∴AE=
AC
sin45°
=5
2
．
∴⊙O的直径为5
2
．
考点梳理
圆周角定理；解直角三角形．
首先连接AO，并延长交⊙O于点E，连接CE，由勾股定理可求得AD的长，又由AB=4
2
，即可求得∠B的度数，然后由圆周角定理，可得△ACE是等腰直角三角形，继而求得⊙O的直径．
此题考查了圆周角定理、勾股定理以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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