试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，AE=13，BE=3，cos∠AEC=
3
5
，求弦CD的长．
答案
青果学院解：作OM⊥CD于点M，连接OC．
∵AE=13，BE=3，
∴OC=OA=OB=
1
2
（AE+BE）=8，
∴OE=OB-BE=8-3=5．
在Rt△OME中，cos∠AEC=
3
5
=
EM
OE
，
解得，EM=3，
∴OM=4，
在Rt△OCM中，CM=
OC2-OM2
=4
3
，
∴CD=2CM=8
3
．
青果学院解：作OM⊥CD于点M，连接OC．
∵AE=13，BE=3，
∴OC=OA=OB=
1
2
（AE+BE）=8，
∴OE=OB-BE=8-3=5．
在Rt△OME中，cos∠AEC=
3
5
=
EM
OE
，
解得，EM=3，
∴OM=4，
在Rt△OCM中，CM=
OC2-OM2
=4
3
，
∴CD=2CM=8
3
．
考点梳理
垂径定理；解直角三角形．
作OM⊥CD于点M，连接OC，在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而求得CD的长．
本题考查了垂径定理，以及勾股定理，正确求得OM的长是关键．
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