试题

题目：
青果学院如图1，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，
即：S△ABC=
1
2
AB×CD，
在Rt△ACD中，∵sinA=
CD
AC
，
∴CD=bsinA
∴S△ABC=
1
2
bc×sin∠A．①
即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．
如图2，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
∵S△ABC=S△ADC+S△BDC，由公式①，得
1
2
AC×BC×sin(α+β)=
1
2
AC×CD×sinα+
1
2
BC×CD×sinβ，
即AC×BC×sin（α+β）=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ．②
请你利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD，只用∠α、∠β、∠α+∠β的正弦或余弦函数表示（直接写出结果）．
（1）
sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ
sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ

（2）利用这个结果计算：sin75°=
6
+ 
2
4
6
+ 
2
4
．
答案
sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ

6
+ 
2
4

解：（1）∵在Rt△ACD中，cosα=
CD
AC
，在Rt△BCD中，cosβ=
CD
BC
，
∴AC×BC×sin（α+β）=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ左右两边同时除以AC×BC得：
sin（α+β）=
CD
BC
×sinα+
CD
AC
×sinβ，
则sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ；

（2）sin75°=sin（45°+30°）
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=
2
2
×
3
2
+
2
2
×
1
2
=
6
+ 
2
4
．
故答案为：（1）sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ；（2）
6
+ 
2
4
考点梳理
解直角三角形．
（1）将②式左右两边同时除以AC×BC，变形后等式右边第一项根据利用余弦函数定义表示出cosβ，第二项利用余弦函数定义表示出cosα，即可得到所求的式子；
（2）将所求式子中的角75°变为45°+30°，由（1）得到的关系式变形，再利用特殊角的三角函数值计算，即可得到所求式子的值．
此题考查了解三角形的问题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，以及等式的基本性质，弄清阅读材料中的信息是解本题的关键．
阅读型．
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