试题

题目：
青果学院如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，与∠AOB的平分线交于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线；
（2）若∠AOB=60°，求OF：FE的值．
答案
解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，
∴DE=CE．
在Rt△EDO与Rt△ECO中，
DE=CE，OE为公共边，∠DOE=∠COF，
∴OD=OC．
∵OF为角平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．

（2）设OD=a，∠AOB=60°，
∴∠DOE=30°，∠ODF=60°，DF=
1
2
OD=
a
2
．
OF=
3
a
2
．
∵∠ODE=90°，∠ODF=60°，
∴∠EDF=30°．
在Rt△DEF中，
tan30°=
EF
DF
=
EF
a
2
=
3
3
，EF=
3
a
6
．
∴OF：FE=
3
a
2
：
3
a
6
=3：1．
解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，
∴DE=CE．
在Rt△EDO与Rt△ECO中，
DE=CE，OE为公共边，∠DOE=∠COF，
∴OD=OC．
∵OF为角平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．

（2）设OD=a，∠AOB=60°，
∴∠DOE=30°，∠ODF=60°，DF=
1
2
OD=
a
2
．
OF=
3
a
2
．
∵∠ODE=90°，∠ODF=60°，
∴∠EDF=30°．
在Rt△DEF中，
tan30°=
EF
DF
=
EF
a
2
=
3
3
，EF=
3
a
6
．
∴OF：FE=
3
a
2
：
3
a
6
=3：1．
考点梳理
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；解直角三角形．
（1）根据垂直平分线的性质定理证明．
（2）通过解特殊角三角函数计算．
考查了特殊角的三角函数值和角平分线的性质．
综合题．
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