试题

题目：
青果学院已知，如图，等边三角形ABC中，AB=4，点P为AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，设BP=x，AQ=y．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．
答案
解：（1）PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，
∠A=∠B=∠C=60°，设BP=x，
∴BE=
x
2
，EC=4-
x
2
，CF=2-
x
4
，
AF=4-2+
x
4
=2+
x
4
，
∵△BEP∽△AQF，
∴
AF
BP
=
AQ
BE
，
∴AQ=1+
x
8
，
∴y=1+
x
8
（0＜x≤4）；

（2）当x+y=4，x+1+
x
8
=4，
∴
9
8
x=3，
∴x=
8
3
．
故BP为
8
3
时，P与Q重合．
解：（1）PE⊥BC，EF⊥AC，FQ⊥AB，
∠A=∠B=∠C=60°，设BP=x，
∴BE=
x
2
，EC=4-
x
2
，CF=2-
x
4
，
AF=4-2+
x
4
=2+
x
4
，
∵△BEP∽△AQF，
∴
AF
BP
=
AQ
BE
，
∴AQ=1+
x
8
，
∴y=1+
x
8
（0＜x≤4）；

（2）当x+y=4，x+1+
x
8
=4，
∴
9
8
x=3，
∴x=
8
3
．
故BP为
8
3
时，P与Q重合．
考点梳理
解直角三角形．
（1）设BP=x，利用等边三角形中，三个角均为60°，三边长相等，逐步求出BE，EC，CF，AF的长，利用△BEP∽△AQF，对应边成比例，求出AP与AQ之间的关系；
（2）点P与点Q重合时，有AQ+AP=AB，代入关系式求解．
解题的关键是利用锐角三角函数的概念，逐步找到x与y关系．
代数几何综合题．
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