试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC边于点E．若BE=2，∠B=22.5°．求：AE、AC的长和∠AEC的度数．
答案
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠EAB=∠B，
∵BE=2，∠B=22.5°，
∴AE=2，∠EAB=22.5°，
∴∠AEC=∠B+∠EAB=22.5°+22.5°=45°，
在Rt△ACE中，AC=AE·sin45°=2×
2
2
=
2
．
故AE、AC的长为2、
2
，∠AEC的度数为45°．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠EAB=∠B，
∵BE=2，∠B=22.5°，
∴AE=2，∠EAB=22.5°，
∴∠AEC=∠B+∠EAB=22.5°+22.5°=45°，
在Rt△ACE中，AC=AE·sin45°=2×
2
2
=
2
．
故AE、AC的长为2、
2
，∠AEC的度数为45°．
考点梳理
解直角三角形；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AE=BE，所以∠B=∠EAB，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠ACE的度数为45°，然后根据45°角的三角函数即可求出边AC的长度．
本题主要利用线段垂直平分线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
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