试题

题目：
青果学院如图所示，等边△ABC的边长a=
25+12
3
，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2=PC2，若PC=5，求PA，PB的长．
答案
青果学院解：以B为中心，按60度旋转△BAP，使得A点旋转至C点，P点至Q．
∵PA2+PB2=PC2
∴△PCQ为直角三角形，∠CQP=90°．
∴∠CQB=150°．
BC2=CQ2+BQ2-2CQ·BQcos150°
=PA2+PB2-2PA·PB（-
3
2
）
=PC2+
3
PA·PB
=25+
3
PA·PB．
BC2=25+12
3
．
∴PA·PB=12，
∵PA2+PB2=25，
∴PA=3，PB=4或PA=4，PB=3．
青果学院解：以B为中心，按60度旋转△BAP，使得A点旋转至C点，P点至Q．
∵PA2+PB2=PC2
∴△PCQ为直角三角形，∠CQP=90°．
∴∠CQB=150°．
BC2=CQ2+BQ2-2CQ·BQcos150°
=PA2+PB2-2PA·PB（-
3
2
）
=PC2+
3
PA·PB
=25+
3
PA·PB．
BC2=25+12
3
．
∴PA·PB=12，
∵PA2+PB2=25，
∴PA=3，PB=4或PA=4，PB=3．
考点梳理
等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形．
按原题作图：以B为中心，按60度旋转△BAP，使得A点旋转至C点，P点至Q．
可以很容易证明：CQ=PA、PQ=PB，注意到PA2+PB2=PC2是直角三角形．
此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、旋转的特征、解直角三角形等知识．难度较大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
计算题．
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