试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，∠B=60°，∠ACB=75°，点D是BC边上一动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于E、F，若弦EF的最小值为1，则AB的长为（　　）



答案
B
青果学院解：如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∴EH=FH=
1
2
EF=
1
2
×1=
1
2
，
∵在△ADB中，∠B=60°，∠ACB=75°，
∴∠BAC=45°，
∴∠EOF=2∠BAC=90°，
∵OE=OF，
∴∠EOH=
1
2
∠EOF=45°，
∴OE=
EH
sin∠EOH
=
2
2
，
∵当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，即OE最小，则EF最小，
∴AD=2OE=
2
，
∴AB=
AD
sin∠B
=
2
6
3
．
故选B．
考点梳理
圆周角定理；垂线段最短；等腰直角三角形；解直角三角形．
首先连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，可求得半径OE的长，又由当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，即OE最小，则EF最小，可求得AD的长，由三角函数的性质，即可求得AB的长．
此题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
探究型．
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