试题

如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=90°，AC与BD交于点H，AE⊥BC于点E，AE交BD于点G，点F是BD的中点，连接EF，若HG=10，GB=6，tan∠ACB=1，则下列结论：①∠DAC=∠CBD；②DH+GB=HG；③4AH=5HC；④EC-EB=

2

EF；其中正确结论是（　　）
A．只有①②
B．只有①③④
C．只有①④
D．只有②③④

B
解：①以BD中点F为圆心，BD为直径可以作出△ABC的外接圆，
∵tan∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ADB=45°，∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠DAC=∠CBD，故①正确；
②∵△ABH∽△AGD，
∴AB²=BH·DG，即AB²=16×（10+DH），
又∵BD=

2

AB，即16+DH=

2

AB，解得DH=8，
∵DH+GB=8+6=14≠10，
∴DG+GB≠HG，故②错误；
③∵△AHG∽△BHA，
∴AH²=BH×HG=16×10=160，
∴AH=4

10

，
根据相交弦定理AH×HC=BH×DH，
∴HC=3.2

10

，
∴4AH=5HC，故③正确；
④∵BD=BH+DH=16+8=24，△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=12

2

，
∵而AC=AH+HC=7.2

10

且△AEC为等腰直角三角形，
∴AE=CE=7.2

5

，
根据勾股定理得BE=2.4

5

，
∴CE-BE=4.8

5

，
由△ABH∽△DCH，得CD=AB×DH÷AH=4.8

5

，而FN=0.5CD=2.4

5

，BF=12，
根据勾股定理得BN=4.8根号5，BE=2.4

5

，
∴EN=BN-BE=2.4

5

，EF=2.4

10

，
∴CE-BE=

2

EF，即④正确，
综上所述，①、③、④正确．
故选B．