试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，∠C=90゜，∠A=15゜．
（1）求
AC
BC
的值；
（2）求sinA的值．
答案
青果学院解：（1）如图，作∠ABD=15°，
∵∠A=15゜，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°，
∴BD=2BC，
设BC=x，则BD=2BC=2x，CD=
BD2-BC2
=
(2x)2-x2
=
3
x，
∵∠A=∠ABD=15°，
∴AD=BD=2x，
∴AC=（
3
+2）x，
∴
AC
BC
=
(
3
+2)x
x
=
3
+2；

（2）在Rt△ABC中，AB=
AC2+BC2
=
(
3
x+2x)2+x2
=（
6
+
2
）x，
所以，sinA=
BC
AB
=
x
(
6
+
2
)x
=
6
-
2
4
．
青果学院解：（1）如图，作∠ABD=15°，
∵∠A=15゜，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°，
∴BD=2BC，
设BC=x，则BD=2BC=2x，CD=
BD2-BC2
=
(2x)2-x2
=
3
x，
∵∠A=∠ABD=15°，
∴AD=BD=2x，
∴AC=（
3
+2）x，
∴
AC
BC
=
(
3
+2)x
x
=
3
+2；

（2）在Rt△ABC中，AB=
AC2+BC2
=
(
3
x+2x)2+x2
=（
6
+
2
）x，
所以，sinA=
BC
AB
=
x
(
6
+
2
)x
=
6
-
2
4
．
考点梳理
解直角三角形．
（1）作∠ABD=15°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2BC，设BC=x，利用勾股定理列式求出CD，根据等角对等边可得AD=BD，然后求出AC的长，再相比即可；
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后根据锐角的正弦值等于对边比斜边列式计算即可得解．
本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出含30°角的直角三角形是解题的关键．
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