试题

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=2，tan²A+tan²B=

10

3

，∠A＞∠B，点P在斜边AB上移动，连接PC，
（1）求∠A的度数；
（2）设AP为x，CP²为y，求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（3）求证：AP=1时，CP⊥AB．

解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，设BC=x．
则tanA=

x

2

，tanB=

2

x

．
∵tan²A+tan²B=

10

3

，
∴

x2

4

+

4

x2

=

10

3

，
去分母，得3x⁴-40x²+48=0，
∴（x²-12）（3x²-4）=0，
∵x＞0，
∴x=2

3

或

2 3

3

．
经检验，x=2

3

或

2 3

3

都是原方程的根．
又∵∠A＞∠B，
∴BC＞AC，
即x＞2，
∴x=2

3

．
∴tanA=

x

2

=

3

，
∴∠A=60°；

（2）如图，过点C作CD⊥AB于D，则AD=1，CD=

3

．
P点的位置分两种情况：
①当点P在线段AD上时，0≤x≤1．
在直角△CDP中，∠CDP=90°，CD=

3

，DP=AD-AP=1-x，
由勾股定理，得CP²=CD²+DP²，
∴y=3+（1-x）²，
∴y=x²-2x+4；
②当点P在线段DB上时，1≤x≤4．
在直角△CDP中，∠CDP=90°，CD=

3

，DP=AP-AD=x-1，
由勾股定理，得CP²=CD²+DP²，
∴y=3+（x-1）²，
∴y=x²-2x+4；
综上，可知y=x²-2x+4（0≤x≤4）．

（3）∵y=x²-2x+4，
当AP=1即x=1时，
y=1²-2×1+4=3，即CP²=3．
在△ACP中，∵AP=1，AC=2，CP²=3，
∴AP²+CP²=1+3=4=AC²，
∴CP⊥AB．
解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，设BC=x．
则tanA=

x

2

，tanB=

2

x

．
∵tan²A+tan²B=

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3

，
∴

x2

4

+

4

x2

=

10

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，
去分母，得3x⁴-40x²+48=0，
∴（x²-12）（3x²-4）=0，
∵x＞0，
∴x=2

3

或

2 3

3

．
经检验，x=2

3

或

2 3

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都是原方程的根．
又∵∠A＞∠B，
∴BC＞AC，
即x＞2，
∴x=2

3

．
∴tanA=

x

2

=

3

，
∴∠A=60°；

（2）如图，过点C作CD⊥AB于D，则AD=1，CD=

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．
P点的位置分两种情况：
①当点P在线段AD上时，0≤x≤1．
在直角△CDP中，∠CDP=90°，CD=

3

，DP=AD-AP=1-x，
由勾股定理，得CP²=CD²+DP²，
∴y=3+（1-x）²，
∴y=x²-2x+4；
②当点P在线段DB上时，1≤x≤4．
在直角△CDP中，∠CDP=90°，CD=

3

，DP=AP-AD=x-1，
由勾股定理，得CP²=CD²+DP²，
∴y=3+（x-1）²，
∴y=x²-2x+4；
综上，可知y=x²-2x+4（0≤x≤4）．

（3）∵y=x²-2x+4，
当AP=1即x=1时，
y=1²-2×1+4=3，即CP²=3．
在△ACP中，∵AP=1，AC=2，CP²=3，
∴AP²+CP²=1+3=4=AC²，
∴CP⊥AB．